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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Integrales

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6.5. Calcular:
c) ∫(ln⁡(u2))5udu\int \frac{(\ln (u^{2}))^{5}}{u} d u

Respuesta

Queremos resolver la integral:

∫(ln⁡(u2))5udu\int \frac{(\ln (u^{2}))^{5}}{u} d u

Propongo tomar la sustitución

t=ln⁡(u2)t = \ln(u^2)

dt=1u2⋅2u du=2u du dt = \frac{1}{u^2} \cdot 2u \, du = \frac{2}{u} \, du

Entonces fijate ese 1u du\frac{1}{u} \, du que nos aparece en nuestra integral, lo podemos escribir en términos de tt como dt2\frac{dt}{2}. Nos queda...

∫(ln⁡(u2))5u du=∫t5⋅dt2 =12∫t5 dt \int \frac{(\ln(u^2))^5}{u} \, du = \int t^5 \cdot \frac{dt}{2}  = \frac{1}{2} \int t^5 \, dt

Resolvemos...

12∫t5 dt=12⋅t66+C=t612+C \frac{1}{2} \int t^5 \, dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^6}{6} + C = \frac{t^6}{12} + C

Ahora, deshacemos la sustitución reemplazando tt con ln⁡(u2)\ln(u^2): t612+C=(ln⁡(u2))612+C \frac{t^6}{12} + C = \frac{(\ln(u^2))^6}{12} + C Por lo tanto, la integral resuelta es: ∫(ln⁡(u2))5u du=(ln⁡(u2))612+C \int \frac{(\ln(u^2))^5}{u} \, du = \frac{(\ln(u^2))^6}{12} + C
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