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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.5.
Calcular:
c) $\int \frac{(\ln (u^{2}))^{5}}{u} d u$
c) $\int \frac{(\ln (u^{2}))^{5}}{u} d u$
Respuesta
Queremos resolver la integral:
Reportar problema
$\int \frac{(\ln (u^{2}))^{5}}{u} d u$
Propongo tomar la sustitución
$t = \ln(u^2)$
$ dt = \frac{1}{u^2} \cdot 2u \, du = \frac{2}{u} \, du $
Entonces fijate ese $\frac{1}{u} \, du$ que nos aparece en nuestra integral, lo podemos escribir en términos de $t$ como $\frac{dt}{2}$. Nos queda...
$ \int \frac{(\ln(u^2))^5}{u} \, du = \int t^5 \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int t^5 \, dt $
Resolvemos...
$ \frac{1}{2} \int t^5 \, dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^6}{6} + C = \frac{t^6}{12} + C $
Ahora, deshacemos la sustitución reemplazando $t$ con $\ln(u^2)$:
$ \frac{t^6}{12} + C = \frac{(\ln(u^2))^6}{12} + C $
Por lo tanto, la integral resuelta es:
$ \int \frac{(\ln(u^2))^5}{u} \, du = \frac{(\ln(u^2))^6}{12} + C $